Esta mañana he tenido que afrontar un nuevo problema. No, no era un problema más. Era un problema nuevo. Un problema de mates. Un problema como los que a mí me gustan. Un problema sin pistas, un problema que te obliga a pensar, al menos a mí, con mi cerebro apolillado.
El problema lo han presentado en el blog gaussianos. Lo copio aquí, para que lo disfruten:
Demostrar que en toda fiesta con n>=2 (n mayor o igual a 2) personas hay al menos dos de ellas que poseen la misma cantidad de amigos.
(Aclaraciones: Se entiende que estamos hablando de relaciones de amistad entre los asistentes a la fiesta y se asume que ninguna persona se cuenta a sí misma como amigo.)
He leído el problema y he tuiteado que habría que resolverlo por reducción al absurdo, medio en broma medio por reto.
No tengo ni idea de cómo resolverlo y he pensado en servirme de papel y bolígrafo (recado de escribir), para pensar. Me he sorprendido. ¿Cuánto tiempo llevaba sin utilizar papel y lápiz para pensar? ¿Desde la carrera? Llevo muchísimo tiempo que sólo pienso en el vacío, en la ducha, en la moto, en el coche, por la escalera, en el ascensor, por la calle o delante de un ordenador, escribiendo.
No he hecho mates en serio desde que dejé la carrera de ingeniería. Repasé mates cuando estudié económicas, pero no necesitaba mucho esfuerzo. Casi ni lo recuerdo. Desde entonces, no me he enfrentado a las matemáticas. Recuerdo ahora los exámenes con integrales triples, que me cabreaban, porque me enfadaba tener que resolver la integral. Lo único que me parecía interesante era plantearla. Una vez planteada, resolverla era una estupidez.
Pero sobre todo me acuerdo de mi frustración y rabia en clase. El profesor ponía un teorema en la pizarra y a continuación se ponía a demostrarlo, sin darnos tiempo a los alumnos a pensar cómo demostrarlo. Las demostraciones fueron mi frustración durante la carrera. Y lo peor es que entonces no me daba cuenta. No sabía expresarlo. Me he dado cuenta muchos años después. El profesor te plantaba la demostración en la cara como un triunfo, como una necesidad imperiosa para dar consistencia a todo el entramado que nos explicaba. Yo me moría de desesperación. No quería que me demostraran nada, quería que me dejaran pensar, que me dejaran jugar. Que me dieran al menos 24 horas para darle vueltas a cómo resolver ese teorema. Nunca ocurrió. Y ni siquiera me daba cuenta de qué era lo que me molestaba tanto.
Hoy, siglos después, me encuentro con la necesidad de demostrar un teorema aparentemente simple y no sé ni por dónde enfocarlo. Pero no quiero que me den la respuesta. Quiero que me den mi tiempo, papel y boli. Para pensar. Gracias.
Eso sí, en los oídos tengo a Bach, el Magnificat y a Sir Neville Marriner. 🙂
… por lo que se deduce, que todo el que intente resolver este problema tiene n<=1 amigos.
😉 Es broma.
… eso lo resuelve la Virgen María en un minuto, que de «Palomares» entiende un montón 🙂
Lo que es cierto, es que no he estado en ninguna boda en la que al menos no coincidiera con el cumpleaños de algún presente… ¿que probabilidades hay matematicamente?.
P.D.: Todas las bodas eran entre 150 y 300 invitados.
@2, (esto es, yo pispo)
300/366 y ya está ¿no?. ¿O no es así?…
¿cuál es la pregunta, cuál es la probabilidad de que haya alguien cumpla el mismo día que usted o de que haya dos personas que cumplan el mismo día?
Si es que coincidan con usted ¿No habrá nacido usted el 29 de febrero no?
(No le voy a responder. Sería ir contra mi propio escrito. Solo le ayudo a ponerse en situación. 🙂
@4, gracias Javier,
La pregunta es ¿qué probabilidad hay de que en una boda alguien cumpla años y por ende, a parte del pastel nupcial, se tenga que sacar una tarta con velitas?.
… lo preguntaba porque en las 5 bodas a las que he ido este año en fechas diferentes siempre había alguien en el comedor que cumplía años ese día.
@5 Por aquí ya se aportó algo de ese tema:
http://cifrasyteclas.com/2012/12/03/paradoja-del-cumpleanos/
La probabilidad del cumpleaños es mayor de la que se puede pensar a priori.
Señor Moltó, no sabía que también seguía usted el blog gaussianos. Conocí a su autor este verano, por cierto.
Sr. Moltó, me pasa exactamente lo mismo que a usted, estoy en el primer año de ingenieria mecánica y no se porque en vez de enseñarnos las cosas de forma que nos den un tiempo para resolverlo por nosotros mismos, nos lo ponen en la pizarra, aunque luego queramos deducirlo, siempre tendremos grabado como se hace, o al menos pistas para llegar a la conclusión, luego se quejan de que lo aprendemos todo de memoria, que tenemos que aprender a deducir. Señores profesores, con todo el respeto, nos hacen un favor si nos dieran un tiempo para pensar, si no lo conseguimos, ayúdennos, pero antes denos una oportunidad.
Un saludo
Robleda94. Dígame quiénes son sus profes y les escribo, que ya tengo muchos años y puedo hacer esas cosas. cuando yo estudiaba ni siquiera se me ocurría decirle al profe. «¡¡No, no haga la demostración!! ¡Deje por lo menos que salga un alumno a la pizarra y que lo intente o denos de plazo hasta mañana!»
Me acuerdo las clases de Álgebra con cinco demostraciones en una hora. Cuando explicaban la quinta mi cabeza todavía estaba en la primera, intentando saber cómo se le ocurriría demostrar eso al primero que lo demostró, por qué esa reducción al absurdo en lugar de una inducción. En fin.
Yo le escribo a sus profes. Ya veo el titular: ¡¡A todos los profesores de mates!!
(Gracias por acompañarme en mi sentimiento)
@9, capaz sería, no lo dudo.
Pensar es bonito y mucho más encontrar la idea que te lleva a la solución!!
Sólo he merodeado alrededor 🙁 pero me he quitado un poquito de óxido
@9 Sr. Moltó agradezco su interés y su dedicación con el blog y todos los fieles lectores. 🙂
No se preocupe, yo mismo he hablado con ellos y la respuesta siempre fue que no hay suficiente tiempo. En fin yo estoy a las 8:25 en clase y ellos no llegan hasta las 8:45 cuando las clases comienzan a las 8:30… No se preocupe Sr. Moltó, sólo con su determinación a escribirles ya se que usted sería capaz de ello y se lo agradezco, pero yo siempre he sido más de solucionarme todos mis problemas. Pero una vez más se lo agradezco.
Fdo. un fiel lector
Un saludo y tengan todos ustedes un feliz año y felices fiestas.
Igualmente!
Muchas gracias
Sr, Molto, el problema que usted plantea creo que falla para el caso n=4.
Respecto a las clases, si queria adelantarse a resolver las clases, todosl os profesores dan a principio de anio el programa con los temas, era cuestion de que leyera que teorema tocaba ese dia y lo tratara de resolver antes de la clase.
Por otro lado, los profesores de facultad no son como en la escuela, ellos llegan, dan sus temas, aceptan preguntas y se van, usted debe masticar las cosas en su casa y preguntar a la proxima clase.
i es el número de uno cualquiera de los n invitados.
i=1 tiene 1 amigo
i=2 tiene dos amigos….
El número de amigos del invitado i es j=2i, para que sea siempre diferente.
El valor máximo de j, los amigos de un invitado cualquiera, es obviamente n-1, es decir, todos los asistentes a la fiesta menos el interesado. Por tanto el valor máximo de i, respetando la condición de j=2i, es i=(n-1)/2. Es decir, la condición sólo se puede cumplir para la mitad de los invitados.
Corrijo metedura de pata:
El número de amigos del invitado i es i, siendo i cualquier valor de 1 a n.
El número máximo de amigos del invitado n-1 es n-1. Por tanto el invitado n tiene que tener entre 1 y n-1 amigos, algún valor repetido.